Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xyx = 3y = 131

Berechne I = ∫03 ∫01 (2x·ey) dy dx über das Rechteck 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1.

f = 2x·ey0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 1
I =
2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = −2x³y² + x³ + 2y² − 3xy die zweite partielle Ableitung ∂²f/∂y² bei (−2, −1).

f(x, y) = −2x³y² + x³ + 2y² − 3xyP = (−2, −1)
fyy(−2, −1) =
3.Mittel

z = 4xy − 4x³ − 5y² mit x = −2t + 1 und y = −2t² + 2. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = −1.

z = 4xy − 4x³ − 5y²x = −2t + 1y = −2t² + 2t = −1
dz/dt =
4.Mittel
xy1−2P

Die Tangentialebene an z = 3x³y² + x³ − 2xy im Punkt (x, y) = (1, −2) lässt sich als z = px + qy + c schreiben. Bestimme c.

f(x, y) = 3x³y² + x³ − 2xy(a, b) = (1, −2)
c =
5.Schwer
xy−20202(1, 2)(−1, 2)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y, klassifiziere sie und gib den Wert fmin von f an ihrem lokalen Minimum an.

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y
fmin =
6.Schwer
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy hat einen kritischen Punkt bei (−1, −1). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xyP = (−1, −1)
D =

Lösungsschlüssel

  1. 1. I = 15,46
  2. 2. fyy(−2, −1) = 36
  3. 3. dz/dt = 264
  4. 4. c = −54
  5. 5. fmin = −6
  6. 6. D = 128

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