Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xyx = 1y = 111

Berechne I = ∫01 ∫01 (−xy − 2) dy dx über das Rechteck 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

f = −xy − 20 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 1
I =
2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = 2y·e3xy die gemischte zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x∂y bei (0,5, 2).

f(x, y) = 2y·e3xyP = (0,5, 2)
fxy(0.5, 2) =
3.Mittel
xy22∇fP

Bestimme für f(x, y) = 5 sin(3x − 3y) die maximale Änderungsrate von f im Punkt (2, 2), also |∇f|.

f(x, y) = 5 sin(3x − 3y)P = (2, 2)
|∇f| =
4.Mittel
xy−500246PQ

Bestimme für f(x, y) = 2xy² + x² + 4y³ − 3xy die Richtungsableitung Duf in P(−2, 3) in Richtung auf Q(−3, 1).

f(x, y) = 2xy² + x² + 4y³ − 3xyP = (−2, 3)Q = (−3, 1)
Duf =
5.Schwer
xyx = 1,5y = x1,5

Das Integral I = ∫01,5 ∫y1,5 sin(x²) dx dy lässt sich in dieser Reihenfolge nicht berechnen. Vertausche die Integrationsreihenfolge und berechne es.

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1,5
I =
6.Schwer
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy hat einen kritischen Punkt bei (−1, −1). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xyP = (−1, −1)
D =

Lösungsschlüssel

  1. 1. I = −2,25
  2. 2. fxy(0.5, 2) = 1205
  3. 3. |∇f| = 21,21
  4. 4. Duf = −82,73
  5. 5. I = 0,8141
  6. 6. D = 128

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