Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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Name: ____________________ Datum: ____________

1.Leicht

Berechne I = ∫₂⁴ ∫₁² (x·e^y) dy dx über das Rechteck 2 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2.

f = x·e^y2 ≤ x ≤ 41 ≤ y ≤ 2

I =

2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²) die partielle Ableitung ∂f/∂x im Punkt (2, −1).

f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²)P = (2, −1)

f_x(2, −1) =

3.Mittel

Die Tangentialebene an z = 2x³y² + 3x² − 2y² − 2xy im Punkt (x, y) = (−2, 2) lässt sich als z = px + qy + c schreiben. Bestimme c.

f(x, y) = 2x³y² + 3x² − 2y² − 2xy(a, b) = (−2, 2)

c =

4.Mittel

Bestimme für f(x, y) = 3xe^−y die maximale Änderungsrate von f im Punkt (2, 0,5), also |∇f|.

f(x, y) = 3xe^−yP = (2, 0,5)

|∇f| =

5.Schwer

Berechne I = ∬_R (x² + y²) dA mit Polarkoordinaten, wobei R der Kreisring 0,0625 ≤ x² + y² ≤ 1 ist.

f = x² + y²0,25 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π

I =

6.Schwer

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 4y hat einen kritischen Punkt bei (2, −2). Berechne dort die Diskriminante D = f_xxf_yy − f_xy².

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 4yP = (2, −2)

D =

Lösungsschlüssel

1. I = 28,02
2. f_x(2, −1) = 1,333
3. c = 244
4. |∇f| = 4,069
5. I = 1,565
6. D = 24

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