Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht

Bestimme für f(x, y) = 5xy + 3x² die zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x² bei (2, −1).

f(x, y) = 5xy + 3x²P = (2, −1)
fxx(2, −1) =
2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = ln(x² + 4y²) die gemischte zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x∂y bei (1, 0,5).

f(x, y) = ln(x² + 4y²)P = (1, 0,5)
fxy(1, 0.5) =
3.Mittel
xy2−2∇fP

Bestimme für f(x, y) = 2x²y + 5x³ + 4y³ − xy die Richtung des steilsten Anstiegs bei (2, −2) als Winkel θ zur positiven x-Achse, in Grad zwischen −180° und 180°.

f(x, y) = 2x²y + 5x³ + 4y³ − xyP = (2, −2)
θ = °
4.Mittel

z = 5x³y² + 4x³ + 4xy mit x = −3t und y = −t². Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = 1.

z = 5x³y² + 4x³ + 4xyx = −3ty = −t²t = 1
dz/dt =
5.Schwer
xy05−2024(0, 0)(3, 3)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x³ + y³ − 9xy, klassifiziere sie und gib den Wert fmin von f an ihrem lokalen Minimum an.

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy
fmin =
6.Schwer
xy1,5

Berechne I = ∬R x dA mit Polarkoordinaten, wobei R der Viertelkreis der Kreisscheibe x² + y² ≤ 2,25 im ersten Quadranten ist.

f = x0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π/2
I =

Lösungsschlüssel

  1. 1. fxx(2, −1) = 6
  2. 2. fxy(1, 0.5) = −2
  3. 3. θ = 49,57 °
  4. 4. dz/dt = −1233
  5. 5. fmin = −27
  6. 6. I = 1,125

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