Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xy−10,5P

Bestimme für f(x, y) = 2xe0,5y die partielle Ableitung ∂f/∂y im Punkt (−1, 0,5).

f(x, y) = 2xe0,5yP = (−1, 0,5)
fy(−1, 0.5) =
2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = −3x²y + 4x² − y² − xy die gemischte zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x∂y bei (−1, 2).

f(x, y) = −3x²y + 4x² − y² − xyP = (−1, 2)
fxy(−1, 2) =
3.Mittel
xy22∇fP

Bestimme für f(x, y) = 5 sin(−3x + 2y) die Richtung des steilsten Anstiegs bei (2, 2) als Winkel θ zur positiven x-Achse, in Grad zwischen −180° und 180°.

f(x, y) = 5 sin(−3x + 2y)P = (2, 2)
θ = °
4.Mittel
xy−22P

Verwende die Tangentialebene von f(x, y) = xy + 5x² − 2y² in (−2, 2), um f(−1,8, 2,05) anzunähern. Gib die lineare Näherung L an.

f(x, y) = xy + 5x² − 2y²(a, b) = (−2, 2)(x, y) = (−1,8, 2,05)
L =
5.Schwer
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy hat einen kritischen Punkt bei (0, 0). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xyP = (0, 0)
D =
6.Schwer
xy21

Berechne I = ∬R (x² + y²) dA mit Polarkoordinaten, wobei R der Kreisring 1 ≤ x² + y² ≤ 4 ist.

f = x² + y²1 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =

Lösungsschlüssel

  1. 1. fy(−1, 0.5) = −1,284
  2. 2. fxy(−1, 2) = 5
  3. 3. θ = −33,69 °
  4. 4. L = 3,9
  5. 5. D = −256
  6. 6. I = 23,56

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