Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xy1−1P

Bestimme für f(x, y) = 3 sin(x − 2y) die partielle Ableitung ∂f/∂x im Punkt (1, −1).

f(x, y) = 3 sin(x − 2y)P = (1, −1)
fx(1, −1) =
2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = −4x³y − 2x³ + 4y² + 4xy die zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x² bei (−2, −1).

f(x, y) = −4x³y − 2x³ + 4y² + 4xyP = (−2, −1)
fxx(−2, −1) =
3.Mittel

z = xe3y mit x = −t + 2 und y = −2t² + 1. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = 1.

z = xe3yx = −t + 2y = −2t² + 1t = 1
dz/dt =
4.Mittel
xy−500246vP

Bestimme für f(x, y) = −4x³y − 5x² − y³ − 4xy die Richtungsableitung Duf in (−1, 3) in Richtung von v = (−3, −2).

f(x, y) = −4x³y − 5x² − y³ − 4xyP = (−1, 3)v = (−3, −2)
Duf =
5.Schwer
xy−202−4−202(−1, −3)

f(x, y) = x² − xy + y² − x + 5y + 5 hat einen kritischen Punkt bei (−1, −3). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x² − xy + y² − x + 5y + 5P = (−1, −3)
D =
6.Schwer
xy−2002(−1, 2)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x² − 2xy + 2y² + 6x − 10y − 2, klassifiziere sie und gib den Wert fmin von f an ihrem lokalen Minimum an.

f(x, y) = x² − 2xy + 2y² + 6x − 10y − 2
fmin =

Lösungsschlüssel

  1. 1. fx(1, −1) = −2,97
  2. 2. fxx(−2, −1) = −24
  3. 3. dz/dt = −0,6472
  4. 4. Duf = 42,16
  5. 5. D = 3
  6. 6. fmin = −15

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