Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht

Bestimme für f(x, y) = −2x²y³ + 4x³ − 5y³ + 2xy die gemischte zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x∂y bei (−1, 2).

f(x, y) = −2x²y³ + 4x³ − 5y³ + 2xyP = (−1, 2)

f_xy(−1, 2) =

2.Leicht

Berechne I = ∫₀² ∫₂⁵ (3x·e^0,5y) dy dx über das Rechteck 0 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 5.

f = 3x·e^0,5y0 ≤ x ≤ 22 ≤ y ≤ 5

I =

3.Mittel

Die Tangentialebene an z = xy² + 4x³ + 3y³ im Punkt (x, y) = (2, 1) lässt sich als z = px + qy + c schreiben. Bestimme c.

f(x, y) = xy² + 4x³ + 3y³(a, b) = (2, 1)

c =

4.Mittel

z = −x³y + 5x³ − y³ − xy mit x = t − 2 und y = 2t² + 1. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = 0.

z = −x³y + 5x³ − y³ − xyx = t − 2y = 2t² + 1t = 0

dz/dt =

5.Schwer

Bestimme den Flächeninhalt I = ∬_R 1 dA des Bereichs R zwischen der Parabel y = x² und der Geraden y = 4x.

y = x²y = 4xf = 1

I =

6.Schwer

Berechne I = ∬_R e^{−(x² + y²)} dA mit Polarkoordinaten, wobei R der Viertelkreis der Kreisscheibe x² + y² ≤ 4 im ersten Quadranten ist.

f = e^{−(x² + y²)}0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2

I =

Lösungsschlüssel

1. f_xy(−1, 2) = 50
2. I = 113,6
3. c = −74
4. dz/dt = 47
5. I = 10,67
6. I = 0,771

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