Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xyx = 1x = 2y = 5y = 21252

Berechne I = ∫12 ∫25 (−3x²y + 3) dy dx über das Rechteck 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 5.

f = −3x²y + 31 ≤ x ≤ 22 ≤ y ≤ 5
I =
2.Leicht
xy−10,5P

Bestimme für f(x, y) = 3x³e0,5y die partielle Ableitung ∂f/∂x im Punkt (−1, 0,5).

f(x, y) = 3x³e0,5yP = (−1, 0,5)
fx(−1, 0.5) =
3.Mittel
xy05−4−20vP

Bestimme für f(x, y) = −3x²y − 5x³ − y² + xy die Richtungsableitung Duf in (3, −2) in Richtung von v = (4, −3).

f(x, y) = −3x²y − 5x³ − y² + xyP = (3, −2)v = (4, −3)
Duf =
4.Mittel
xy21∇fP

Bestimme für f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²) die maximale Änderungsrate von f im Punkt (2, 1), also |∇f|.

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (2, 1)
|∇f| =
5.Schwer
xy−202−1012(1, 1)(−1, 1)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y, klassifiziere sie und gib den Wert fmin von f an ihrem lokalen Minimum an.

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y
fmin =
6.Schwer
xy1

Berechne I = ∬R (x² + y²) dA mit Polarkoordinaten, wobei R die Kreisscheibe x² + y² ≤ 1 ist.

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =

Lösungsschlüssel

  1. 1. I = −64,5
  2. 2. fx(−1, 0.5) = 11,56
  3. 3. Duf = −68,8
  4. 4. |∇f| = 3,354
  5. 5. fmin = −3
  6. 6. I = 1,571

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