Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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Name: ____________________   Datum: ____________

1.Leicht
xy10,5P

Bestimme für f(x, y) = 3 sin(−3x + 3y) die partielle Ableitung ∂f/∂x im Punkt (1, 0,5).

f(x, y) = 3 sin(−3x + 3y)P = (1, 0,5)
fx(1, 0.5) =
2.Leicht
xy2−1P

Bestimme für f(x, y) = 5 sin(−3x − 2y) die partielle Ableitung ∂f/∂y im Punkt (2, −1).

f(x, y) = 5 sin(−3x − 2y)P = (2, −1)
fy(2, −1) =
3.Mittel
xy−2−2∇fP

Bestimme für f(x, y) = 5xy³ − x³ + y³ + xy die Richtung des steilsten Anstiegs bei (−2, −2) als Winkel θ zur positiven x-Achse, in Grad zwischen −180° und 180°.

f(x, y) = 5xy³ − x³ + y³ + xyP = (−2, −2)
θ = °
4.Mittel

z = 4x²y + x² − 5y² + 4xy mit x = t + 2 und y = t² + 2. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = 0.

z = 4x²y + x² − 5y² + 4xyx = t + 2y = t² + 2t = 0
dz/dt =
5.Schwer
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy, klassifiziere sie und gib den Wert fmin von f an ihrem lokalen Minimum an.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =
6.Schwer
xy−505−4−202(3, −1)(−3, −1)

f(x, y) = x³ − 27x + y² + 2y hat einen kritischen Punkt bei (−3, −1). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 27x + y² + 2yP = (−3, −1)
D =

Lösungsschlüssel

  1. 1. fx(1, 0.5) = −0,6366
  2. 2. fy(2, −1) = 6,536
  3. 3. θ = −116,1 °
  4. 4. dz/dt = 44
  5. 5. fmin = −32
  6. 6. D = −36

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