Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xy−1−1P

Bestimme für f(x, y) = 3x²y² − 2y² + 4xy die partielle Ableitung ∂f/∂x im Punkt (−1, −1).

f(x, y) = 3x²y² − 2y² + 4xyP = (−1, −1)
fx(−1, −1) =
2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = xy − 5x³ − y² die zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x² bei (−1, 2).

f(x, y) = xy − 5x³ − y²P = (−1, 2)
fxx(−1, 2) =
3.Mittel
xy1−1P

Verwende die Tangentialebene von f(x, y) = 4xy + 5x³ + 3y³ in (1, −1), um f(0,9, −0,95) anzunähern. Gib die lineare Näherung L an.

f(x, y) = 4xy + 5x³ + 3y³(a, b) = (1, −1)(x, y) = (0,9, −0,95)
L =
4.Mittel

z = 2x³y − 2x² − 5y² + 3xy mit x = 2t − 2 und y = −2t² + 2. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = −1.

z = 2x³y − 2x² − 5y² + 3xyx = 2t − 2y = −2t² + 2t = −1
dz/dt =
5.Schwer
xyy = 3xy = x²39

Berechne I = ∬R x dA, wobei R der Bereich zwischen der Parabel y = x² und der Geraden y = 3x ist.

y = x²y = 3xf = x
I =
6.Schwer
xy−505−2024(3, 3)(−3, 3)

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 6y hat einen kritischen Punkt bei (−3, 3). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 6yP = (−3, 3)
D =

Lösungsschlüssel

  1. 1. fx(−1, −1) = −10
  2. 2. fxx(−1, 2) = 30
  3. 3. L = −2,45
  4. 4. dz/dt = −528
  5. 5. I = 6,75
  6. 6. D = −36

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