Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xyx = 1x = 2y = 3123

Berechne I = ∫12 ∫03 (−xy + 1) dy dx über das Rechteck 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3.

f = −xy + 11 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 3
I =
2.Leicht
xy−1−3P

Bestimme für f(x, y) = −x³y³ − 2x² + 2xy die partielle Ableitung ∂f/∂y im Punkt (−1, −3).

f(x, y) = −x³y³ − 2x² + 2xyP = (−1, −3)
fy(−1, −3) =
3.Mittel
xy−13∇fP

Bestimme für f(x, y) = −x³y² − x² − 2y² die maximale Änderungsrate von f im Punkt (−1, 3), also |∇f|.

f(x, y) = −x³y² − x² − 2y²P = (−1, 3)
|∇f| =
4.Mittel
xy024024vP

Bestimme für f(x, y) = ln(x² + 3y²) die Richtungsableitung Duf in (1, 1) in Richtung von v = (3, 3).

f(x, y) = ln(x² + 3y²)P = (1, 1)v = (3, 3)
Duf =
5.Schwer
xy−505−2024(3, 3)(−3, 3)

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 6y hat einen kritischen Punkt bei (3, 3). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 6yP = (3, 3)
D =
6.Schwer
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy, klassifiziere sie und gib den Wert fmin von f an ihrem lokalen Minimum an.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =

Lösungsschlüssel

  1. 1. I = −3,75
  2. 2. fy(−1, −3) = 25
  3. 3. |∇f| = 25,71
  4. 4. Duf = 1,414
  5. 5. D = 36
  6. 6. fmin = −2

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