Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xy0,52P

Bestimme für f(x, y) = sin(2x − 3y) die partielle Ableitung ∂f/∂y im Punkt (0,5, 2).

f(x, y) = sin(2x − 3y)P = (0,5, 2)
fy(0.5, 2) =
2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = 3xy + 5x³ + 4y² die zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x² bei (−2, −2).

f(x, y) = 3xy + 5x³ + 4y²P = (−2, −2)
fxx(−2, −2) =
3.Mittel

z = 2 sin(x − 2y) mit x = −3t und y = −2t² + 2. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = 1.

z = 2 sin(x − 2y)x = −3ty = −2t² + 2t = 1
dz/dt =
4.Mittel
xy−12P

Die Tangentialebene an z = 3xy − 3y³ im Punkt (x, y) = (−1, 2) lässt sich als z = px + qy + c schreiben. Bestimme c.

f(x, y) = 3xy − 3y³(a, b) = (−1, 2)
c =
5.Schwer
xy3

Berechne I = ∬R √(x² + y²) dA mit Polarkoordinaten, wobei R die Kreisscheibe x² + y² ≤ 9 ist.

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.Schwer
xy−505−4−202(3, −3)(−3, −3)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 6y, klassifiziere sie und gib den Wert fmax von f an ihrem lokalen Maximum an.

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 6y
fmax =

Lösungsschlüssel

  1. 1. fy(0.5, 2) = −0,851
  2. 2. fxx(−2, −2) = −60
  3. 3. dz/dt = −9,9
  4. 4. c = 54
  5. 5. I = 56,55
  6. 6. fmax = 63

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