Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xy2−2P

Bestimme für f(x, y) = 3x²y² + x² + 2y³ − 4xy die partielle Ableitung ∂f/∂y im Punkt (2, −2).

f(x, y) = 3x²y² + x² + 2y³ − 4xyP = (2, −2)
fy(2, −2) =
2.Leicht
xyx = 1y = 5y = 2152

Berechne I = ∫01 ∫25 (4y) dy dx über das Rechteck 0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 5.

f = 4y0 ≤ x ≤ 12 ≤ y ≤ 5
I =
3.Mittel
xy−1012302vP

Bestimme für f(x, y) = 3 sin(3x − 3y) die Richtungsableitung Duf in (1, 1) in Richtung von v = (−1, −2).

f(x, y) = 3 sin(3x − 3y)P = (1, 1)v = (−1, −2)
Duf =
4.Mittel

z = 5 sin(3x − 2y) mit x = t − 1 und y = 2t² − 2. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = 1.

z = 5 sin(3x − 2y)x = t − 1y = 2t² − 2t = 1
dz/dt =
5.Schwer
xy3

Berechne I = ∬R e−(x² + y²) dA mit Polarkoordinaten, wobei R die Kreisscheibe x² + y² ≤ 9 ist.

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.Schwer
xy−505−2024(3, 1)(−3, 1)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 2y, klassifiziere sie und gib den Wert fmax von f an ihrem lokalen Maximum an.

f(x, y) = −x³ + 27x − y² + 2y
fmax =

Lösungsschlüssel

  1. 1. fy(2, −2) = −32
  2. 2. I = 42
  3. 3. Duf = 4,025
  4. 4. dz/dt = −25
  5. 5. I = 3,141
  6. 6. fmax = 55

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