Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xy−32P

Bestimme für f(x, y) = 2x²y² + x² − 4y³ + 4xy die partielle Ableitung ∂f/∂x im Punkt (−3, 2).

f(x, y) = 2x²y² + x² − 4y³ + 4xyP = (−3, 2)
fx(−3, 2) =
2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = 5x³y + 5x² + y² + 3xy die zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x² bei (−1, −2).

f(x, y) = 5x³y + 5x² + y² + 3xyP = (−1, −2)
fxx(−1, −2) =
3.Mittel

z = 2x²y − x³ + y² + 4xy mit x = 3t − 2 und y = −t² + 2. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = 2.

z = 2x²y − x³ + y² + 4xyx = 3t − 2y = −t² + 2t = 2
dz/dt =
4.Mittel

z = −4xy² + x² + 2y³ + 4xy mit x = 3t − 1 und y = −2t² − 2. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = −1.

z = −4xy² + x² + 2y³ + 4xyx = 3t − 1y = −2t² − 2t = −1
dz/dt =
5.Schwer
xy−505−2024(3, 3)(−3, 3)

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 6y hat einen kritischen Punkt bei (−3, 3). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 6yP = (−3, 3)
D =
6.Schwer
xy−202−202(2, −1)(−2, −1)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 2y, klassifiziere sie und gib den Wert fmax von f an ihrem lokalen Maximum an.

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 2y
fmax =

Lösungsschlüssel

  1. 1. fx(−3, 2) = −46
  2. 2. fxx(−1, −2) = 70
  3. 3. dz/dt = −440
  4. 4. dz/dt = −456
  5. 5. D = −36
  6. 6. fmax = 17

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