Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xyx = 3y = 131

Berechne I = ∫03 ∫01 (x·ey) dy dx über das Rechteck 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1.

f = x·ey0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 1
I =
2.Leicht
xy−2−2P

Bestimme für f(x, y) = 3xy − 4x² die partielle Ableitung ∂f/∂x im Punkt (−2, −2).

f(x, y) = 3xy − 4x²P = (−2, −2)
fx(−2, −2) =
3.Mittel
xy−202−2−10PQ

Bestimme für f(x, y) = −xy² − 5x³ + 4y² + xy die Richtungsableitung Duf in P(−1, −1) in Richtung auf Q(3, −1).

f(x, y) = −xy² − 5x³ + 4y² + xyP = (−1, −1)Q = (3, −1)
Duf =
4.Mittel
xy−4−202−202vP

Bestimme für f(x, y) = 3x³y² + 2x² + 3y³ + 3xy die Richtungsableitung Duf in (−2, −1) in Richtung von v = (4, 4).

f(x, y) = 3x³y² + 2x² + 3y³ + 3xyP = (−2, −1)v = (4, 4)
Duf =
5.Schwer
xy−505−202(3, 0)(−3, 0)

f(x, y) = x³ − 27x + y² hat einen kritischen Punkt bei (3, 0). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 27x + y²P = (3, 0)
D =
6.Schwer
xy−202−4−202(0, −3)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = −x² + 3xy − 3y² + 9x − 18y − 2, klassifiziere sie und gib den Wert fmax von f an ihrem lokalen Maximum an.

f(x, y) = −x² + 3xy − 3y² + 9x − 18y − 2
fmax =

Lösungsschlüssel

  1. 1. I = 7,732
  2. 2. fx(−2, −2) = 10
  3. 3. Duf = −17
  4. 4. Duf = 53,74
  5. 5. D = 36
  6. 6. fmax = 25

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