Arbeitsblatt Analysis mehrerer Variablen mit Lösungen

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1.Leicht
xyx = 2x = 5y = 4y = 22542

Berechne I = ∫25 ∫24 (−2x²y + 2) dy dx über das Rechteck 2 ≤ x ≤ 5, 2 ≤ y ≤ 4.

f = −2x²y + 22 ≤ x ≤ 52 ≤ y ≤ 4
I =
2.Leicht

Bestimme für f(x, y) = 5 sin(−3x + y) die gemischte zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x∂y bei (0,5, 2).

f(x, y) = 5 sin(−3x + y)P = (0,5, 2)
fxy(0.5, 2) =
3.Mittel
xy−10,5∇fP

Bestimme für f(x, y) = y·exy die maximale Änderungsrate von f im Punkt (−1, 0,5), also |∇f|.

f(x, y) = y·exyP = (−1, 0,5)
|∇f| =
4.Mittel

z = ln(x² + 2y²) mit x = 3t − 1 und y = 2t² − 1. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = 0.

z = ln(x² + 2y²)x = 3t − 1y = 2t² − 1t = 0
dz/dt =
5.Schwer
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy hat einen kritischen Punkt bei (0, 0). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xyP = (0, 0)
D =
6.Schwer
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy, klassifiziere sie und gib den Wert fmin von f an ihrem lokalen Minimum an.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =

Lösungsschlüssel

  1. 1. I = −456
  2. 2. fxy(0.5, 2) = 7,191
  3. 3. |∇f| = 0,3391
  4. 4. dz/dt = −2
  5. 5. D = −256
  6. 6. fmin = −2

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