Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 0

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = e−x − x mit dem Startwert x₀ = 0 an. Bestimme x1.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0
x1 =
2.Leicht
xya = 0b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = x³ + 2x − 2 mit dem Startintervall [0, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = x³ + 2x − 2[a, b] = [0, 2]n = 4
c4 =
3.Mittel
xy00,51

Nähere ∫01 eˣ dx mit der Simpson-Regel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |S − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Schwer
00,050,10,150,20,50,60,7ty(0, 0,5)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = e−ty, y(0) = 0,5, um y2 ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,1
y2 =
6.Schwer
00,20,4−1−0,50ty(0, −1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,1 für y′ = cos t − y, y(0) = −1, um y5 ≈ y(0,5) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,1
y5 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 0,5
  2. 2. c4 = 0,875
  3. 3. |E| = 0,0005793
  4. 4. n = 895
  5. 5. y2 = 0,6877
  6. 6. y5 = −0,1949

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