Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 1,5

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ + 2x − 7 mit dem Startwert x₀ = 1,5 an. Bestimme x2.

f(x) = x³ + 2x − 7f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1,5
x2 =
2.Leicht
xya = 1b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = ln x + x − 2 mit dem Startintervall [1, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = ln x + x − 2[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫13 1/x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [1, 3]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,0005
n =
4.Mittel
xy00,33330,666711,3331,6672

Nähere ∫02 1/(1 + x³) dx mit der Simpson-Regel mit n = 6 Streifen an. Gib S an.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 6
S =
5.Schwer
00,050,10,150,200,10,2ty(0, 0)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0, um y2 ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,1
y2 =
6.Schwer
00,511,5205ty(0, 0,5)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,5 für y′ = t + y, y(0) = 0,5, um y4 ≈ y(2) zu schätzen.

y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,5
y4 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 1,569
  2. 2. c3 = 1,625
  3. 3. n = 52
  4. 4. S = 1,091
  5. 5. y2 = 0,203
  6. 6. y4 = 4,594

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