Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 1b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = ln x + x − 2 mit dem Startintervall [1, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = ln x + x − 2[a, b] = [1, 2]n = 4
c4 =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 3. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,01 ist?

b − a = 3ε = 0,01
n =
3.Mittel
xy00,751,5

Nähere ∫01,5 √(1 + x³) dx mit der Trapezregel mit n = 2 Streifen an. Gib T an.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 2
T =
4.Mittel
xy0123

Nähere ∫03 √x·e−x dx mit der Trapezregel mit n = 3 Streifen an. Gib T an.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 3]n = 3
T =
5.Schwer
00,050,12,82,93ty(0, 3)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,1 für y′ = cos t − y, y(0) = 3, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,1
y1 =
6.Schwer
00,511,520,511,52ty(0, 2)

Löse y′ = t − y, y(0) = 2 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,5 bis t = 2. Die exakte Lösung ist y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(2) − y4|.

y′ = t − yy(0) = 2h = 0,5
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c4 = 1,563
  2. 2. n = 9
  3. 3. T = 2,054
  4. 4. T = 0,6024
  5. 5. y1 = 2,81
  6. 6. |E| = 0,2185

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