Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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Name: ____________________   Datum: ____________

1.Leicht
x234567y1,82212,45963,32014,48176,04968,1662

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle y bei x = 2,6.

x = 2,6
y =
2.Leicht
xyx₀ = 3

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = ln x + x − 3 mit dem Startwert x₀ = 3 an. Bestimme x1.

f(x) = ln x + x − 3f′(x) = 1/x + 1x₀ = 3
x1 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
5.Schwer
00,050,10,150,20,99850,9990,99951ty(0, 1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,2 für y′ = cos t − y, y(0) = 1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,2).

y′ = cos t − yy(0) = 1h = 0,2
y1 =
6.Schwer
00,10,20,30,40,60,8ty(0, 0,5)

Löse y′ = t + y, y(0) = 0,5 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,1 bis t = 0,4. Die exakte Lösung ist y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,4) − y4|.

y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,1
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. y = 2,205
  2. 2. x1 = 2,176
  3. 3. n = 12
  4. 4. n = 22
  5. 5. y1 = 0,9987
  6. 6. |E| = 0,04159

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