Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 0b = 1

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = e−x − x mit dem Startintervall [0, 1] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = e−x − x[a, b] = [0, 1]n = 4
c4 =
2.Leicht
xyx₀ = 0

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = e−x − x mit dem Startwert x₀ = 0 an. Bestimme x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0
x2 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
4.Mittel
xy00,3750,751,1251,5

Nähere ∫01,5 √(1 + x³) dx mit der Simpson-Regel mit n = 4 Streifen an. Gib S an.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 4
S =
5.Schwer
00,20,40,6234ty(0, 2)

Löse y′ = t + y, y(0) = 2 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,2 bis t = 0,6. Die exakte Lösung ist y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,6) − y3|.

y′ = t + yy(0) = 2h = 0,2
|E| =
6.Schwer
00,20,4−1−0,5ty(0, −1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,5 für y′ = cos t − y, y(0) = −1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,5
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c4 = 0,5625
  2. 2. x2 = 0,5663
  3. 3. n = 895
  4. 4. S = 1,976
  5. 5. |E| = 0,2824
  6. 6. y1 = −0,2318

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