Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 2 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x1.

f(x) = x² − 2f′(x) = 2xx₀ = 2
x1 =
2.Leicht
xya = 1b = 3

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = x³ − x − 5 mit dem Startintervall [1, 3] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = x³ − x − 5[a, b] = [1, 3]n = 4
c4 =
3.Mittel
xy00,250,50,751

Nähere ∫01 x³ dx mit der Trapezregel, n = 4, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 4
|E| =
4.Mittel
xy11,251,51,752

Nähere ∫12 1/x dx mit der Trapezregel, n = 4, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]n = 4
|E| =
5.Schwer
00,20,400,20,4ty(0, 0)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,5 für y′ = e−ty, y(0) = 0, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,5).

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,5
y1 =
6.Schwer
00,10,20,311,21,4ty(0, 1)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = t² + y², y(0) = 1, um y3 ≈ y(0,3) zu schätzen.

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,1
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 1,5
  2. 2. c4 = 1,875
  3. 3. |E| = 0,01563
  4. 4. |E| = 0,003877
  5. 5. y1 = 0,4629
  6. 6. y3 = 1,436

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