Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 5 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x1.

f(x) = x² − 5f′(x) = 2xx₀ = 2
x1 =
2.Leicht
x22,533,544,5y1,38631,50411,60941,70471,79181,8718

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle y bei x = 2,875.

x = 2,875
y =
3.Mittel
xy00,250,50,751

Nähere ∫01 eˣ dx mit der Trapezregel, n = 4, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 4
|E| =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
5.Schwer
00,511,50,40,60,8ty(0, 0,5)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,5 für y′ = t − y, y(0) = 0,5, um y3 ≈ y(1,5) zu schätzen.

y′ = t − yy(0) = 0,5h = 0,5
y3 =
6.Schwer
00,050,10,150,20,50,60,7ty(0, 0,5)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5, um y2 ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,1
y2 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 2,25
  2. 2. y = 1,583
  3. 3. |E| = 0,00894
  4. 4. n = 9
  5. 5. y3 = 0,8662
  6. 6. y2 = 0,7131

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