Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 0b = 1

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startintervall [0, 1] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = cos x − x[a, b] = [0, 1]n = 4
c4 =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 4. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,0002 ist?

b − a = 4ε = 0,0002
n =
3.Mittel
xy00,51

Nähere ∫01 eˣ dx mit der Trapezregel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫13 1/x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [1, 3]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0001 garantiert.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,0001
n =
5.Schwer
00,20,40,60,8123ty(0, 1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,2 für y′ = t² + y², y(0) = 1, um y4 ≈ y(0,8) zu schätzen.

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,2
y4 =
6.Schwer
00,10,20,30,4−1−0,9ty(0, −1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,1 für y′ = −2ty, y(0) = −1, um y4 ≈ y(0,4) zu schätzen.

y′ = −2tyy(0) = −1h = 0,1
y4 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c4 = 0,6875
  2. 2. n = 15
  3. 3. |E| = 0,03565
  4. 4. n = 116
  5. 5. y4 = 2,828
  6. 6. y4 = −0,8844

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