Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

Kostenloses Arbeitsblatt Numerische Verfahren zum Ausdrucken: 6 Aufgaben von leicht bis Prüfungsniveau, mit Lösungsschlüssel. Drucke es aus oder speichere es als PDF.

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1.Leicht
xyx₀ = 3

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = ln x + x − 3 mit dem Startwert x₀ = 3 an. Bestimme x1.

f(x) = ln x + x − 3f′(x) = 1/x + 1x₀ = 3
x1 =
2.Leicht
xyx₀ = 3,5

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 13 mit dem Startwert x₀ = 3,5 an. Bestimme x2.

f(x) = x² − 13f′(x) = 2xx₀ = 3,5
x2 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
4.Mittel
t (s)05101520v (m/s)6481214

Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird alle 5 s gemessen (Tabelle). Schätze die von t = 0 bis t = 20 s zurückgelegte Strecke s mit der Trapezregel.

h = 5 sn = 4
s = m
5.Schwer
00,5111,52ty(0, 1)

Löse y′ = y(2 − y), y(0) = 1 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,2 bis t = 1. Die exakte Lösung ist y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(1) − y5|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,2
|E| =
6.Schwer
00,050,11,91,952ty(0, 2)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,1 für y′ = cos t − y, y(0) = 2, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,1
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 2,176
  2. 2. x2 = 3,606
  3. 3. n = 9
  4. 4. s = 170 m
  5. 5. |E| = 0,03915
  6. 6. y1 = 1,905

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