Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x1.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 1
x1 =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 4. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,005 ist?

b − a = 4ε = 0,005
n =
3.Mittel
xy012

Nähere ∫02 sin x dx mit der Trapezregel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
4.Mittel
t (s)05101520v (m/s)10810811

Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird alle 5 s gemessen (Tabelle). Schätze die von t = 0 bis t = 20 s zurückgelegte Strecke s mit der Simpson-Regel.

h = 5 sn = 4
s = m
5.Schwer
00,20,40,60,811,52ty(0, 1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,2 für y′ = y − t², y(0) = 1, um y4 ≈ y(0,8) zu schätzen.

y′ = y − t²y(0) = 1h = 0,2
y4 =
6.Schwer
00,20,400,020,04ty(0, 0)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,5 für y′ = t² + y², y(0) = 0, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,5).

y′ = t² + y²y(0) = 0h = 0,5
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 0,7504
  2. 2. n = 10
  3. 3. |E| = 0,12
  4. 4. s = 175 m
  5. 5. y4 = 1,952
  6. 6. y1 = 0,04179

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