Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 1,5

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ − x − 1 mit dem Startwert x₀ = 1,5 an. Bestimme x2.

f(x) = x³ − x − 1f′(x) = 3x² − 1x₀ = 1,5
x2 =
2.Leicht
xyx₀ = 1,5

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 3 mit dem Startwert x₀ = 1,5 an. Bestimme x1.

f(x) = x² − 3f′(x) = 2xx₀ = 1,5
x1 =
3.Mittel
xy00,66671,3332

Nähere ∫02 1/√(1 + x⁴) dx mit der Trapezregel mit n = 3 Streifen an. Gib T an.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 3
T =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫12 1/x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [1, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Schwer
00,050,111,051,1ty(0, 1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,1 für y′ = e−ty, y(0) = 1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,1).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,1
y1 =
6.Schwer
00,10,20,311,11,21,3ty(0, 1)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = e−ty, y(0) = 1, um y3 ≈ y(0,3) zu schätzen.

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,1
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 1,325
  2. 2. x1 = 1,75
  3. 3. T = 1,35
  4. 4. n = 130
  5. 5. y1 = 1,095
  6. 6. y3 = 1,253

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