Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 3. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,001 ist?

b − a = 3ε = 0,001
n =
2.Leicht
xyx₀ = 3

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 10 mit dem Startwert x₀ = 3 an. Bestimme x1.

f(x) = x² − 10f′(x) = 2xx₀ = 3
x1 =
3.Mittel
xy11,52

Nähere ∫12 1/x dx mit der Trapezregel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]n = 2
|E| =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
5.Schwer
00,511,52123ty(0, 3)

Löse y′ = −0,5y, y(0) = 3 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,5 bis t = 2. Die exakte Lösung ist y = y₀e−0,5t. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(2) − y4|.

y′ = −0,5yy(0) = 3h = 0,5
|E| =
6.Schwer
00,050,10,150,200,10,2ty(0, 0)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = e−ty, y(0) = 0, um y2 ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,1
y2 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. n = 12
  2. 2. x1 = 3,167
  3. 3. |E| = 0,01519
  4. 4. n = 16
  5. 5. |E| = 0,1544
  6. 6. y2 = 0,1971

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