Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 3. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,0001 ist?

b − a = 3ε = 0,0001
n =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 1. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,005 ist?

b − a = 1ε = 0,005
n =
3.Mittel
xy012

Nähere ∫02 sin x dx mit der Simpson-Regel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |S − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0001 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001
n =
5.Schwer
00,10,20,31,41,61,82ty(0, 2)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,1 für y′ = t − y, y(0) = 2, um y3 ≈ y(0,3) zu schätzen.

y′ = t − yy(0) = 2h = 0,1
y3 =
6.Schwer
00,050,10,150,20,50,60,7ty(0, 0,5)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,2 für y′ = e−ty, y(0) = 0,5, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,2).

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,2
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. n = 15
  2. 2. n = 8
  3. 3. |E| = 0,008914
  4. 4. n = 27
  5. 5. y3 = 1,487
  6. 6. y1 = 0,688

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