Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 1b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = ln x + x − 2 mit dem Startintervall [1, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = ln x + x − 2[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
2.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ + 2x − 3 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x1.

f(x) = x³ + 2x − 3f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1
x1 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
4.Mittel
xy00,40,81,21,62

Nähere ∫02 e−x² dx mit der Trapezregel mit n = 5 Streifen an. Gib T an.

f(x) = e−x²[a, b] = [0, 2]n = 5
T =
5.Schwer
00,511,500,51ty(0, 0)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,5 für y′ = e−ty, y(0) = 0, um y3 ≈ y(1,5) zu schätzen.

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,5
y3 =
6.Schwer
00,511,511,52ty(0, 2)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,5 für y′ = −0,5y, y(0) = 2, um y3 ≈ y(1,5) zu schätzen.

y′ = −0,5yy(0) = 2h = 0,5
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c3 = 1,625
  2. 2. x1 = 1
  3. 3. n = 37
  4. 4. T = 0,8811
  5. 5. y3 = 1,095
  6. 6. y3 = 0,9537

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