Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ − x − 2 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x2.

f(x) = x³ − x − 2f′(x) = 3x² − 1x₀ = 2
x2 =
2.Leicht
x11,522,533,5y1,41421,58111,73211,870822,1213

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle den Wert x, bei dem y = 1,5143 ist.

y = 1,5143
x =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
4.Mittel
xy00,51

Nähere ∫01 sin(x²) dx mit der Simpson-Regel mit n = 2 Streifen an. Gib S an.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 2
S =
5.Schwer
00,5112ty(0, 0,5)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,5 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5, um y2 ≈ y(1) zu schätzen.

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,5
y2 =
6.Schwer
00,050,111,051,1ty(0, 1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,1 für y′ = e−ty, y(0) = 1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,1).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,1
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 1,53
  2. 2. x = 1,3
  3. 3. n = 22
  4. 4. S = 0,3052
  5. 5. y2 = 1,99
  6. 6. y1 = 1,095

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