Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 0b = 1

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = e−x − x mit dem Startintervall [0, 1] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = e−x − x[a, b] = [0, 1]n = 3
c3 =
2.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = ln x + x − 3 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x2.

f(x) = ln x + x − 3f′(x) = 1/x + 1x₀ = 1
x2 =
3.Mittel
xy11,52

Nähere ∫12 1/x dx mit der Trapezregel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]n = 2
|E| =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
5.Schwer
00,20,411,5ty(0, 1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,5 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,5
y1 =
6.Schwer
00,20,40,6−1,5−1ty(0, −1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,2 für y′ = t + y, y(0) = −1, um y3 ≈ y(0,6) zu schätzen.

y′ = t + yy(0) = −1h = 0,2
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c3 = 0,625
  2. 2. x2 = 2,205
  3. 3. |E| = 0,01519
  4. 4. n = 100
  5. 5. y1 = 1,667
  6. 6. y3 = −1,6

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