Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 2 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x2.

f(x) = x² − 2f′(x) = 2xx₀ = 2
x2 =
2.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ − x − 3 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x1.

f(x) = x³ − x − 3f′(x) = 3x² − 1x₀ = 1
x1 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
4.Mittel
xy00,511,52

Nähere ∫02 e−x² dx mit der Simpson-Regel mit n = 4 Streifen an. Gib S an.

f(x) = e−x²[a, b] = [0, 2]n = 4
S =
5.Schwer
00,511,52−101ty(0, −1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,5 für y′ = t − y, y(0) = −1, um y4 ≈ y(2) zu schätzen.

y′ = t − yy(0) = −1h = 0,5
y4 =
6.Schwer
00,510123ty(0, 0,5)

Löse y′ = t + y, y(0) = 0,5 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,25 bis t = 1,25. Die exakte Lösung ist y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(1,25) − y5|.

y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,25
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 1,417
  2. 2. x1 = 2,5
  3. 3. n = 100
  4. 4. S = 0,8818
  5. 5. y4 = 1
  6. 6. |E| = 0,6579

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