Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 2b = 3

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = x² − 7 mit dem Startintervall [2, 3] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = x² − 7[a, b] = [2, 3]n = 4
c4 =
2.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x2.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 1
x2 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
4.Mittel
xy00,33330,666711,3331,6672

Nähere ∫02 1/√(1 + x⁴) dx mit der Trapezregel mit n = 6 Streifen an. Gib T an.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 6
T =
5.Schwer
00,20,411,5ty(0, 1)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,25 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1, um y2 ≈ y(0,5) zu schätzen.

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,25
y2 =
6.Schwer
00,20,40,6−1,5−1ty(0, −1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,25 für y′ = t + y, y(0) = −1, um y3 ≈ y(0,75) zu schätzen.

y′ = t + yy(0) = −1h = 0,25
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c4 = 2,688
  2. 2. x2 = 0,7391
  3. 3. n = 22
  4. 4. T = 1,355
  5. 5. y2 = 1,668
  6. 6. y3 = −1,75

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