Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 2. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,005 ist?

b − a = 2ε = 0,005
n =
2.Leicht
x234567y1,82212,45963,32014,48176,04968,1662

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle den Wert x, bei dem y = 7,5312 ist.

y = 7,5312
x =
3.Mittel
xy00,250,50,7511,251,5

Nähere ∫01,5 sin(x²) dx mit der Simpson-Regel mit n = 6 Streifen an. Gib S an.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1,5]n = 6
S =
4.Mittel
xy00,250,50,751

Nähere ∫01 sin x dx mit der Trapezregel, n = 4, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]n = 4
|E| =
5.Schwer
00,20,40,60,811,52ty(0, 2)

Löse y′ = −2ty, y(0) = 2 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,2 bis t = 0,8. Die exakte Lösung ist y = y₀e−t². Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,8) − y4|.

y′ = −2tyy(0) = 2h = 0,2
|E| =
6.Schwer
00,511,50,51ty(0, 0,5)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,5 für y′ = e−ty, y(0) = 0,5, um y3 ≈ y(1,5) zu schätzen.

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,5
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. n = 9
  2. 2. x = 6,7
  3. 3. S = 0,7782
  4. 4. |E| = 0,002397
  5. 5. |E| = 0,1201
  6. 6. y3 = 1,251

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