Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x1.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 1
x1 =
2.Leicht
x11,522,533,5y1,34991,56831,82212,1172,45962,8577

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle y bei x = 2,7.

x = 2,7
y =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫12 1/x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [1, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 0,001
n =
4.Mittel
t (s)0102030405060v (m/s)4101619252729

Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird alle 10 s gemessen (Tabelle). Schätze die von t = 0 bis t = 60 s zurückgelegte Strecke s mit der Simpson-Regel.

h = 10 sn = 6
s = m
5.Schwer
01201ty(0, 0,5)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,5 für y′ = t − y, y(0) = 0,5, um y5 ≈ y(2,5) zu schätzen.

y′ = t − yy(0) = 0,5h = 0,5
y5 =
6.Schwer
00,050,111,051,1ty(0, 1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,1 für y′ = t² + y², y(0) = 1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,1).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,1
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 0,7504
  2. 2. y = 2,254
  3. 3. n = 13
  4. 4. s = 1130 m
  5. 5. y5 = 1,547
  6. 6. y1 = 1,111

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