Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 0b = 1

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startintervall [0, 1] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = cos x − x[a, b] = [0, 1]n = 4
c4 =
2.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ − x − 3 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x2.

f(x) = x³ − x − 3f′(x) = 3x² − 1x₀ = 1
x2 =
3.Mittel
xy00,16670,33330,50,66670,83331

Nähere ∫01 sin(x²) dx mit der Simpson-Regel mit n = 6 Streifen an. Gib S an.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 6
S =
4.Mittel
xy00,51

Nähere ∫01 1/√(1 + x⁴) dx mit der Trapezregel mit n = 2 Streifen an. Gib T an.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 2
T =
5.Schwer
00,5100,5ty(0, 0)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,5 für y′ = e−ty, y(0) = 0, um y2 ≈ y(1) zu schätzen.

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,5
y2 =
6.Schwer
00,10,20,31,41,61,82ty(0, 2)

Löse y′ = t − y, y(0) = 2 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,1 bis t = 0,3. Die exakte Lösung ist y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,3) − y3|.

y′ = t − yy(0) = 2h = 0,1
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c4 = 0,6875
  2. 2. x2 = 1,93
  3. 3. S = 0,3102
  4. 4. T = 0,9118
  5. 5. y2 = 0,7522
  6. 6. |E| = 0,03545

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