Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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Name: ____________________   Datum: ____________

1.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = ln x + x − 4 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x2.

f(x) = ln x + x − 4f′(x) = 1/x + 1x₀ = 1
x2 =
2.Leicht
xyx₀ = 2,5

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 5 mit dem Startwert x₀ = 2,5 an. Bestimme x1.

f(x) = x² − 5f′(x) = 2xx₀ = 2,5
x1 =
3.Mittel
xy00,16670,33330,50,66670,83331

Nähere ∫01 sin(x²) dx mit der Trapezregel mit n = 6 Streifen an. Gib T an.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 6
T =
4.Mittel
xy123

Nähere ∫13 1/x dx mit der Simpson-Regel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |S − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]n = 2
|E| =
5.Schwer
00,20,4−1−0,5ty(0, −1)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,25 für y′ = cos t − y, y(0) = −1, um y2 ≈ y(0,5) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,25
y2 =
6.Schwer
00,050,1−1−0,9−0,8ty(0, −1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,1 für y′ = cos t − y, y(0) = −1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,1
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 2,917
  2. 2. x1 = 2,25
  3. 3. T = 0,3128
  4. 4. |E| = 0,0125
  5. 5. y2 = −0,242
  6. 6. y1 = −0,8098

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