Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 0,5. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,01 ist?

b − a = 0,5ε = 0,01
n =
2.Leicht
xyx₀ = 0,5

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startwert x₀ = 0,5 an. Bestimme x2.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 0,5
x2 =
3.Mittel
xy012

Nähere ∫02 eˣ dx mit der Trapezregel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
4.Mittel
xy00,30,60,91,21,5

Nähere ∫01,5 sin(x²) dx mit der Trapezregel mit n = 5 Streifen an. Gib T an.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1,5]n = 5
T =
5.Schwer
00,20,400,5ty(0, 0)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,25 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0, um y2 ≈ y(0,5) zu schätzen.

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,25
y2 =
6.Schwer
00,20,40,60,20,30,40,5ty(0, 0,5)

Löse y′ = −y, y(0) = 0,5 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,2 bis t = 0,6. Die exakte Lösung ist y = y₀e−t. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,6) − y3|.

y′ = −yy(0) = 0,5h = 0,2
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. n = 6
  2. 2. x2 = 0,7391
  3. 3. |E| = 0,5238
  4. 4. T = 0,7641
  5. 5. y2 = 0,5482
  6. 6. |E| = 0,01841

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