Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ − x − 1 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x2.

f(x) = x³ − x − 1f′(x) = 3x² − 1x₀ = 2
x2 =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 4. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,0001 ist?

b − a = 4ε = 0,0001
n =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
4.Mittel
xy012

Nähere ∫02 x³ dx mit der Trapezregel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
5.Schwer
00,511,5212ty(0, 2)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,5 für y′ = cos t − y, y(0) = 2, um y4 ≈ y(2) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,5
y4 =
6.Schwer
00,51123ty(0, 3)

Löse y′ = t − y, y(0) = 3 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,25 bis t = 1. Die exakte Lösung ist y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(1) − y4|.

y′ = t − yy(0) = 3h = 0,25
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 1,36
  2. 2. n = 16
  3. 3. n = 32
  4. 4. |E| = 1
  5. 5. y4 = 0,4676
  6. 6. |E| = 0,2059

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