Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 3. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,01 ist?

b − a = 3ε = 0,01
n =
2.Leicht
x012345y11,34991,82212,45963,32014,4817

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle y bei x = 1,4.

x = 1,4
y =
3.Mittel
xy00,51

Nähere ∫01 sin x dx mit der Simpson-Regel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |S − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
5.Schwer
00,10,20,3345ty(0, 3)

Löse y′ = 1,5y, y(0) = 3 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,1 bis t = 0,3. Die exakte Lösung ist y = y₀e1,5t. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,3) − y3|.

y′ = 1,5yy(0) = 3h = 0,1
|E| =
6.Schwer
00,20,422,53ty(0, 3)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,25 für y′ = cos t − y, y(0) = 3, um y2 ≈ y(0,5) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,25
y2 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. n = 9
  2. 2. y = 1,539
  3. 3. |E| = 0,0001645
  4. 4. n = 22
  5. 5. |E| = 0,1423
  6. 6. y2 = 2,199

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