Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 2. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,0002 ist?

b − a = 2ε = 0,0002
n =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 1. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,005 ist?

b − a = 1ε = 0,005
n =
3.Mittel
xy00,511,52

Nähere ∫02 sin x dx mit der Trapezregel, n = 4, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 4
|E| =
4.Mittel
xy00,3750,751,1251,5

Nähere ∫01,5 1/(1 + x³) dx mit der Simpson-Regel mit n = 4 Streifen an. Gib S an.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 4
S =
5.Schwer
00,20,411,5ty(0, 1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,5 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,5
y1 =
6.Schwer
00,20,40,611,52ty(0, 2)

Löse y′ = t − y, y(0) = 2 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,2 bis t = 0,6. Die exakte Lösung ist y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,6) − y3|.

y′ = t − yy(0) = 2h = 0,2
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. n = 14
  2. 2. n = 8
  3. 3. |E| = 0,02963
  4. 4. S = 1,011
  5. 5. y1 = 1,667
  6. 6. |E| = 0,1104

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