Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 0b = 1

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startintervall [0, 1] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = cos x − x[a, b] = [0, 1]n = 3
c3 =
2.Leicht
x00,20,40,60,81y0,69310,78850,87550,95551,02961,0986

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle den Wert x, bei dem y = 0,9315 ist.

y = 0,9315
x =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
4.Mittel
t (s)05101520v (m/s)813181823

Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird alle 5 s gemessen (Tabelle). Schätze die von t = 0 bis t = 20 s zurückgelegte Strecke s mit der Simpson-Regel.

h = 5 sn = 4
s = m
5.Schwer
00,20,40,60,511,5ty(0, 0,5)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,25 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5, um y3 ≈ y(0,75) zu schätzen.

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,25
y3 =
6.Schwer
00,510,80,91ty(0, 1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,25 für y′ = cos t − y, y(0) = 1, um y5 ≈ y(1,25) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 1h = 0,25
y5 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c3 = 0,625
  2. 2. x = 0,54
  3. 3. n = 895
  4. 4. s = 318,3 m
  5. 5. y3 = 1,54
  6. 6. y5 = 0,8143

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