Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 1b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = x² − 2 mit dem Startintervall [1, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = x² − 2[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 1. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,001 ist?

b − a = 1ε = 0,001
n =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
4.Mittel
xy00,250,50,7511,251,5

Nähere ∫01,5 sin(x²) dx mit der Trapezregel mit n = 6 Streifen an. Gib T an.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1,5]n = 6
T =
5.Schwer
00,510,51ty(0, 0,5)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,5 für y′ = e−ty, y(0) = 0,5, um y2 ≈ y(1) zu schätzen.

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,5
y2 =
6.Schwer
00,20,400,020,04ty(0, 0)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,5 für y′ = t² + y², y(0) = 0, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,5).

y′ = t² + y²y(0) = 0h = 0,5
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c3 = 1,375
  2. 2. n = 10
  3. 3. n = 151
  4. 4. T = 0,7684
  5. 5. y2 = 1,135
  6. 6. y1 = 0,04179

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