Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 4

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 10 mit dem Startwert x₀ = 4 an. Bestimme x1.

f(x) = x² − 10f′(x) = 2xx₀ = 4
x1 =
2.Leicht
xya = 1b = 4

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = ln x + x − 4 mit dem Startintervall [1, 4] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = ln x + x − 4[a, b] = [1, 4]n = 3
c3 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
4.Mittel
xy00,751,5

Nähere ∫01,5 sin(x²) dx mit der Trapezregel mit n = 2 Streifen an. Gib T an.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1,5]n = 2
T =
5.Schwer
00,10,20,30,40,50,60,7ty(0, 0,5)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,2 für y′ = y − t², y(0) = 0,5, um y2 ≈ y(0,4) zu schätzen.

y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,2
y2 =
6.Schwer
00,20,40,51ty(0, 0,5)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,5 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,5
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 3,25
  2. 2. c3 = 2,875
  3. 3. n = 16
  4. 4. T = 0,6918
  5. 5. y2 = 0,7185
  6. 6. y1 = 1,108

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