Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 1b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = x² − 2 mit dem Startintervall [1, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = x² − 2[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
2.Leicht
x123456y0,47940,84150,99750,90930,59850,1411

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle y bei x = 3,25.

x = 3,25
y =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,001
n =
4.Mittel
xy00,751,5

Nähere ∫01,5 √(1 + x³) dx mit der Simpson-Regel mit n = 2 Streifen an. Gib S an.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 2
S =
5.Schwer
00,20,411,52ty(0, 2)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,1 für y′ = −y, y(0) = 2, um y5 ≈ y(0,5) zu schätzen.

y′ = −yy(0) = 2h = 0,1
y5 =
6.Schwer
00,20,40,60,51ty(0, 0,5)

Löse y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,25 bis t = 0,75. Die exakte Lösung ist y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,75) − y3|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,25
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c3 = 1,375
  2. 2. y = 0,9755
  3. 3. n = 90
  4. 4. S = 1,965
  5. 5. y5 = 1,181
  6. 6. |E| = 0,03684

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