Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ + 2x − 5 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x2.

f(x) = x³ + 2x − 5f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1
x2 =
2.Leicht
xya = 1b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = ln x + x − 2 mit dem Startintervall [1, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = ln x + x − 2[a, b] = [1, 2]n = 4
c4 =
3.Mittel
t (s)024681012v (m/s)7101213161821

Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird alle 2 s gemessen (Tabelle). Schätze die von t = 0 bis t = 12 s zurückgelegte Strecke s mit der Simpson-Regel.

h = 2 sn = 6
s = m
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0001 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001
n =
5.Schwer
00,050,100,050,1ty(0, 0)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,1 für y′ = e−ty, y(0) = 0, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,1).

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,1
y1 =
6.Schwer
00,20,411,21,4ty(0, 1)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,25 für y′ = y(2 − y), y(0) = 1, um y2 ≈ y(0,5) zu schätzen.

y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,25
y2 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 1,331
  2. 2. c4 = 1,563
  3. 3. s = 165,3 m
  4. 4. n = 27
  5. 5. y1 = 0,09967
  6. 6. y2 = 1,456

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