Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ + 2x − 3 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x2.

f(x) = x³ + 2x − 3f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1
x2 =
2.Leicht
xya = 1b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = ln x + x − 2 mit dem Startintervall [1, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = ln x + x − 2[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
3.Mittel
xy00,51

Nähere ∫01 e−x² dx mit der Simpson-Regel mit n = 2 Streifen an. Gib S an.

f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1]n = 2
S =
4.Mittel
xy00,250,50,7511,251,5

Nähere ∫01,5 √(1 + x³) dx mit der Trapezregel mit n = 6 Streifen an. Gib T an.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 6
T =
5.Schwer
00,511,520510ty(0, 1)

Löse y′ = t + y, y(0) = 1 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,5 bis t = 2. Die exakte Lösung ist y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(2) − y4|.

y′ = t + yy(0) = 1h = 0,5
|E| =
6.Schwer
00,050,10,150,200,10,2ty(0, 0)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = e−ty, y(0) = 0, um y2 ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,1
y2 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 1
  2. 2. c3 = 1,625
  3. 3. S = 0,7472
  4. 4. T = 1,985
  5. 5. |E| = 4,653
  6. 6. y2 = 0,1971

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