Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ + 2x − 3 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x2.

f(x) = x³ + 2x − 3f′(x) = 3x² + 2x₀ = 2
x2 =
2.Leicht
xya = 1b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = x³ − x − 2 mit dem Startintervall [1, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = x³ − x − 2[a, b] = [1, 2]n = 4
c4 =
3.Mittel
xy00,40,81,21,62

Nähere ∫02 e−x² dx mit der Trapezregel mit n = 5 Streifen an. Gib T an.

f(x) = e−x²[a, b] = [0, 2]n = 5
T =
4.Mittel
t (s)024681012v (m/s)757971016

Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird alle 2 s gemessen (Tabelle). Schätze die von t = 0 bis t = 12 s zurückgelegte Strecke s mit der Trapezregel.

h = 2 sn = 6
s = m
5.Schwer
00,050,10,50,550,6ty(0, 0,5)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,1 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,1).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,1
y1 =
6.Schwer
00,20,40,611,52ty(0, 2)

Löse y′ = t − y, y(0) = 2 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,2 bis t = 0,6. Die exakte Lösung ist y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,6) − y3|.

y′ = t − yy(0) = 2h = 0,2
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 1,063
  2. 2. c4 = 1,563
  3. 3. T = 0,8811
  4. 4. s = 99 m
  5. 5. y1 = 0,6028
  6. 6. |E| = 0,1104

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