Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 2. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,001 ist?

b − a = 2ε = 0,001
n =
2.Leicht
xyx₀ = 0,5

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startwert x₀ = 0,5 an. Bestimme x2.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 0,5
x2 =
3.Mittel
xy00,3750,751,1251,5

Nähere ∫01,5 sin(x²) dx mit der Trapezregel mit n = 4 Streifen an. Gib T an.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1,5]n = 4
T =
4.Mittel
xy00,33330,666711,3331,6672

Nähere ∫02 √(1 + x³) dx mit der Simpson-Regel mit n = 6 Streifen an. Gib S an.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 6
S =
5.Schwer
00,20,40,60,81,52ty(0, 2)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,2 für y′ = cos t − y, y(0) = 2, um y4 ≈ y(0,8) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,2
y4 =
6.Schwer
00,050,10,150,211,11,2ty(0, 1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,2 für y′ = e−ty, y(0) = 1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,2).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,2
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. n = 11
  2. 2. x2 = 0,7391
  3. 3. T = 0,7561
  4. 4. S = 3,241
  5. 5. y4 = 1,359
  6. 6. y1 = 1,179

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